LA CISSOIDE DI DIOCLE

 

 

Storia

La cissoide di Diocle prende il nome dal geometra, di cui poco si conosce, Diocle, vissuto nel II° secolo a.C., del quale abbiamo testimonianza grazie a Geminus, un commentatore di Archimede del I° secolo d.C., ma soprattutto grazie ad Eutocio da Ascalona, studioso del VI° secolo d.C., che fa riferimento alla cissoide di Diocle in un commento al II° libro della prima opera di Archimede "Sulla sfera ed il cilindro", ed è estremamente probabile sia lo stesso luogo dei punti cui fanno riferimento Proclo e Pappo con il nome di cissoide.

Diocle utilizzò la cissoide per risolvere il problema della duplicazione del cubo. Nel rinascimento la curva godette di notevole interesse: Fermat e Roberval (1634) costruirono la tangente alla cissoide; Huygens e Wallis (1658) trovarono che l´area compresa tra la curva e il suo asintoto è di . Anche Newton si occupò della curva portandola ad esempio di soluzione del problema della duplicazione del cubo.

 

 

Costruzione

 

Vediamone la costruzione di questa curva (figura sopra): consideriamo un circonferenza e consideriamo la tangente alla circonferenza in un punto ed infine un punto opposto (lungo il diametro) al punto di tangenza. Consideriamo ora un punto sulla circonferenza e sia il punto di intersezione della retta passante per e con la tangente . Ora chiameremo cissoide di Diocle il luogo dei punti tale che, sulla linea , la lunghezza del segmento sia uguale alla lunghezza del segmento al variare di che si muove sulla circonferenza . La cissoide di Diocle è simmetrica rispetto al diametro (perpendicolare alla retta ) ed ha per asintoto la tangente alla circonferenza.

 

Secondo alcuni moderni studiosi (Morris Kline), originariamente Diocle costruì la curva nel modo seguente nel suo libro "Sugli specchi ustori" (figura a destra): siano e diametri perpendicolari della circonferenza. Sia un punto sull´arco di circonferenza e sia il punto sull´arco , tali che e siano uguali.

Tracciamo il segmento perpendicolare a e tracciamo il segmento . Il luogo dei punti , intersezione dei segmenti e (al variare di ed sulla circonferenza), è la nostra cissoide.

Questa costruzione, che ovviamente traccia solo i rami contenuti all´interno della circonferenza, spiegherebbe l´origine del nome cissoide (dal greco kissos = edera e oeides = a forma di), poichè la parte delimitata dalla curva, internamente alla circonferenza, e la semicirconferenza di arco ricorda la forma di una foglia di edera (figura a sinistra). Le porzioni di curva che stanno al di fuori della circonferenza sarebbero frutto di successive generalizzazioni.

 

 

Equazioni

Prendiamo il punto per polo di un sistema di coordinate polari , e per asse polare; detto il raggio del cerchio si ottiene:

 

 

da cui si ricava l'equazione polare della cissoide che è:

 

 

Passando ora alle coordinate cartesiane tramite i cambiamenti di variabili noti e otteniamo:

 

o anche:

 

Dalla prima si nota che la cissoide è una cubica (ovvero una curva di terzo grado) e in vi è una cuspide; dalla seconda si evince come la retta passante per e sia un asintoto per la curva. Infine essendo la cissoide una curva razionale possiamo trovare le equazioni parametriche:

 

 

 

Proprietà

Come abbiamo detto la cissoide fu utilizzata da Diocle per risolvere il problema della duplicazione del cubo. Vediamo come: prendiamo due punti e e costruiamo la circonferenza centrata in e passante per ; costruiamo ora i punti e estremi del diametro della circonferenza perpendicolare a .

Ora possiamo costruire la cissoide di Diocle usando il cerchio , la tangente alla circonferenza nel punto , ed il polo . Ora costruiamo il punto tale che la lunghezza del segmento sia uguale a quella del segmento . Tracciamo la retta passante per e e sia il punto di intersezione della cissoide con la retta . Sia infine il punto di intersezione tra la retta e . Allora si ha che:

 

 

La dimostrazione verrà tralasciata. La soluzione di Diocle è formalmente corretta, tranne per il fatto che essa implica l´intersezione tra una retta e la cissoide di Diocle, intersezione che non puo essere realizzata con il solo utilizzo di riga e compasso. Diocle infatti poteva costruire un numero finito di punti e poi unirli tramite un segmento per formare una spezzata che approssimasse la curva; in particolare il punto non è tra i punti che Diocle poteva costruire.

 

La cissoide di Diocle è un caso particolare di numerose curve che si possono costruire con il metodo descritto all´inizio: infatti scegliendo diverse curve al posto della circonferenza e della retta tangente e scegliendo un punto in posizione diversa da quella scelta da noi si ottengono altre curve. Ad esempio se la prima curva è una retta, la seconda una circonferenza ed il polo è il centro della circonferenza si ottiene una concoide di Nicomede; se la prima curva è una circonferenza, la seconda una retta passante per il centro della circonferenza ed il polo un punto sulla circonferenza si ottiene una strofoide; se la prima e la seconda curva sono due circonferenze aventi lo stesso raggio e il polo è il punto medio sulla congiungente i due centri si ottiene una lemniscata di Bernoulli. In particolare nel corso della storia il termine cissoide verrà utilizzato per descrivere il metodo (ad esempio la lemniscata è la cissoide di due circonferenze con polo il punto medio sulla congiungente i due centri).